Матрицы и операции над ними

AN=1

Определение: Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из (m) строк и (n) столбцов.


коротко матрицу обозначают так:




где αij - элементы данной матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Две матрицы A = (αij) и B = (bij) равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если



при всех I и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и умножать матрицу на матрицу.

1. Для того, чтобы сложить две матрицы  A = (aij) и  B = (bij) с одинаковым количеством (m) строк и (n) достаточно сложить элементы, стоящие на одинаковых позициях, т.е. у матрицы  C = (cij) каждый элемент определяется равенством




2. Чтобы умножить матрицу  A = (aij) на число  λ  достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число  λ:



3. Произведением матрицы  A = (aij), имеющей (m) строк и (k) столбцов, на матрицу B = (bij), имеющей (k) строк и (n) столбцов, называется матрица  C = (cij), имеющая (m) строк и (n) столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть



Умножать матрицу А на матрицу В можно только в том случае, когда число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A·B = C.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A·B  и  B·A, так как в общем случае одна из этих операций может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Вопросы:

  1. Что называется матрицей?
  2. Какие виды матрицы знаете?
  3. Какие операции над матрицами существуют?
  4. Правило нахождения суммы двух матриц?
  5. Всегда ли можно найти произведение матриц?

Пример 1. Найти АВ и ВА, если



Решение. Имеем



где

 c11 = 4·(-2) + (-2)·(-1) + 1·3 = -3

 c12 = 4·3 + (-2)·(-1) + 1·2 = 16

 c21 = 2·(-2) + 1· (-1) + (-2)·3 = -11

 c22 = 2·3 + 1·(-1) + (-2)·2 = 1

В результате

Далее находим

где

 c11 = (-2)·4+3·2=-2

 c12 = (-2)·(-2)+3·1=7

 c1 = (-2)·1+3 3(-2)=-8

 c21  = (-1)·4+(-1)·2=-6,

 c22 = (-1)·(-2)+(-1)·1=1

 с23 = (-1)·1+(-1)·(-2)=1

 с31 = 3·4+2·2=16,

 с32 = 3·(-2)+2·1=-4

 с33 = 3·1+2·(-2)=-1

В результате имеем матрицу