3.3. Метод исключения Неймана

Суть метода исключения, предложенного Джон фон Нейманом, заключается в том, что из равномерно распределенной базовой последовательности исключается часть чисел таким образом, чтобы оставшиеся числа подчинялись заданному закону.

Пусть случайная величина определена на отрезке [ a, b ] и имеет ограниченную сверху функцию плотности f(x) (рис. 3.1).

Сформулируем теорему 3.2. Пусть z ₁ и z ₂ - независимые реализации базовой случайной величины и

Тогда случайная величина , определенная из условия

имеет плотность распределения f(x ).

Доказательство. Случайные точки A(x,y), координаты которых найдены по формулам (3.4), имеют равномерное распределение в прямоугольнике abcd , площадь которого равна M(b-a ). Найдем вероятность того, что точка A(x,y ) окажется под кривой y=f(x)

Вероятность того, что точка A(x,y) окажется ниже кривой y=f(x) на отрезке [ a', b' ], также равна отношению площадей

Вычислим условную вероятность

что и требовалось доказать.

Для практической реализации метода исключения можно предложить следующий алгоритм:

Шаг 1. Положить i=1, j=1 .

Шаг 2. Получить две независимые реализации z _{2 j-1} и z _2j случайной величины x .

Шаг 3. Вычислить

x _j =a+z _2j-1 (b-a) и y _j =M z _2j .

Шаг 4. Проверить условие y _j j

Шаг 5. Положить x _i =x _j и i=i+1 .

Шаг 6. Положить j=j+1 .

Шаг 7. Проверить выполнение условия окончания счета i>n .

При нарушении этого условия переход на шаг 2.

Шаг 8. Вывод {x _i }.

Эффективность метода исключения Неймана прямо пропорциональна вероятности попадания точки A(x,y) под кривую y=f(x), т.е.

Следовательно, эффективность метода будет наибольшей, если выбрать наименьшее возможное значение M , т.е. принять

Пример 3.2 . f(x)=2x+x ² , x [ 1.5 ]

Решение . Определим параметр M :

Предположим, что на шаге 2 получили z ₁ =0.75, z ₂ =0.2 .

Тогда

x ₁ =1+0.75*4=4;

y ₁ =35*0.2=7;

f(x ₁ )=2*4+16=24;

y ₁ =7 1

Следовательно, =x ₁ =4.

Важным достоинством метода исключения Неймана является возможность задания закона распределения случайной величины как аналитически, так и графически.